Wofür Taylor-Reihe für e^x gedacht ist
e^x als Polynom nachbauen: Je hoeher der Grad n, desto besser schmiegt sich die blaue Kurve der roten e-Funktion an. Bis Grad 10 reicht der Bereich von -3 bis 3 fuer eine gute Annaeherung.
Bedienung
- Den Grad n mit dem Regler erhoehen.
- Zusehen, wie das Polynom der e^x-Kurve folgt.
- Bei groesserem |x| die Abweichung erkennen.
Typische Anwendungen: Taylor-Reihe: Alle glatten Funktionen lassen sich lokal durch Polynome annaehern. Hoeherer Grad bedeutet bessere Naeherung, aber auch mehr Rechenaufwand., Anwendungen: Numerische Berechnung von e, sin, cos in Computern; Fehlerschaetzung in der Numerik..
Fragen und Antworten
Was ist eine Taylor-Reihe?
Eine Potenzreihe, die eine Funktion durch ein Polynom annaehert, basierend auf ihren Ableitungen am Entwicklungspunkt.
Warum gerade e^x?
Weil alle Ableitungen von e^x wieder e^x sind – die Reihe laesst sich besonders einfach hinschreiben.
Was passiert bei groesserem Grad n?
Je hoeher der Grad n gewaehlt wird, desto genauer liegt das Polynom auf der e^x-Kurve, zumindest in der Umgebung um x = 0.
Woher weicht die Naeherung spaetestens ab?
Weiter entfernte Stellen werden mit steigendem Grad immer besser angenaehert, doch irgendwann weicht das Polynom wieder von der Kurve ab.
Einschränkungen
Entwicklungspunkt ist x = 0; ausserhalb des Konvergenzbereichs wird die Annaeherung schnell schlechter.
Was das Werkzeug kann
Polynomgrad n von 1 bis 10 einstellbar, e^x (rot) und Taylor-Polynom (blau) uebereinander, Live-Animation, Fuer hoehere Mathematik
Diese Werkzeuge passen: