Wofür Bernoulli-Ungleichung gedacht ist
Die Bernoulli-Ungleichung (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n·x gilt für x > −1 und n > 1. Statt einen schwierigen Ausdruck genau auszurechnen, nimmt man einfach die lineare untere Schranke 1 + n·x – das reicht oft. Der Rechner rechnet für Ihre Werte beide Seiten und die Differenz und sagt Ihnen, ob die Ungleichung wirklich gilt, sowie ob die Voraussetzungen x > −1, n > 1 erfüllt sind. Für x nahe null ist die Abweichung winzig, für x > 1 wächst die linke Seite schnell auseinander – die Ungleichung lohnt sich also vor allem zum schnellen, sicheren Abschätzen.
Bedienung
- x und n eintippen.
- „Prüfen“ drücken und beide Seiten mit Differenz ablesen – die Aussage daneben gleich mitnehmen.
Typische Anwendungen: Analysis: Einfache Schranken beweisen., Schule: Ungleichungen an Beispielen nachvollziehen., Numerik: Eine schnelle obere oder untere Schranke nutzen..
Fragen und Antworten
Wann gilt die Bernoulli-Ungleichung?
Für x > −1 und n > 1.
Wozu braucht man sie?
Zum Abschätzen von Ausdrücken in Beweisen und Grenzwerten.
Wie groß ist die Differenz?
Der Rechner zeigt (1+x)ⁿ − (1+nx) numerisch an.
Was passiert bei x ≤ −1?
Dann ist die Voraussetzung verletzt, die Aussage gilt nicht mehr allgemein.
Einschränkungen
Die klassische Aussage braucht x > −1 und n > 1; für Sonderfälle gelten abweichende Vereinbarungen.
Was das Werkzeug kann
Werte x und n eingeben, Linke Seite (1+x)ⁿ, Rechte Seite 1 + n·x, Differenz beider Seiten, Prüfung der Voraussetzungen, Aussage, ob die Ungleichung gilt, Sofortiges Ergebnis
Diese Werkzeuge passen: